Sekolahku: April 2012

“KEMIRINGAN dan KERUNCINGAN”

(SKEWNESS and KURTOSIS)

Kelompok 9:

1. Nida Shafiyanti (3125111218)

2. Indah Dwi Astuti (3125111208)

3. Puti Febriani Nurjanah (3125111204)

4. Mahdhi (3125111207)

Program Studi Matematika

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengatahuan Alam

Universitas Negeri Jakarta

2012

Pendahuluan

Statistika tidak dapat dipisahkan dalam kehidupan sehari-hari. Tanpa sadar kita sering menjumpai data statistika. Ilmu statistika dapat membantu seseorang dalam menyelesaikan masalah yang kaitannya dengan data tunggal maupun kelompok. Salah satu jenis dari statistika mengenai kemiringan dan keruncingan. Dalam malakah ini, akan dijelaskan mengenai pengertian, jenis dan kurva dari suatu kemiringan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun kelompok. Materi dalam makalah ini juga dilengkapi dengan contoh soal dan latihan soal untuk menguji pemahaman dari materi yang telah dipelajari.


	Tujuan

Setelah mempelajari materi ini, mahasiswandiharapkan dapat :

- Mengetahui pengertian dari kemirigan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun berkelompok

- Mengetahui jenis dari kemiringan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun berkelompok

- Dapat menggambarkan kurva dari kemiringan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun berkelompok


	Manfaat

Manfaat dari mempelajari materi kemiringan dan keruncinngan dalam statistika yaitu menambah wawasan dalam bidang statistika, mendapat gambaran lebih rinci dari suatu data, dapat menggambarkan kurva kemiringan dan keruncingan dari data tunggal maupun berkelompok.

MATERI

A. KEMIRINGAN

Kemiringan (skewnes) merupakan derajat ketidaksimetrian (keasimetrian), atau dapat juga disefinisikan sebagai penyimpangan dari kesimetrian dari suaru distribusi. Jika suatu kurva frekuensi (polygon frekuensi yang terhaluskan) dari suatu distribusi memiliki ekor kurva yang lebih panjang ke arah sisi kanan dibandingkan ke arah sisi kiri dari nilai maksimum tengah, maka distribusi ini lebih dikenal dengan nama distribusi miring ke kanan atau memiliki kemiringan positif. Untuk kondisi sebaliknya, distibusi dikenal dengan distribusi miring ke kiri atau kemiringan negatif.

Gambar 1

Untuk distribusi miring, mean akan cendrung berada pada sisi yang sama dengan modus di ekor kurva yang lebih panjang (lihat gambar 1). Jadi ukuran kesimetrian dapat diperoleh dari selisih atau perbedaan nilai mean dan modus: mean – modus. Ukuran ini dapat dibuat menjadi ukuran tanpa dimensi atau satuan jika kita membandingnya dengan suatu ukuran dispersi, seperti misalnya deviasi standar. Tingkat kemiringan suatu kurva (skewness), ditentukan dengan menggunakan rumus (formulasi) sebagai berikut:

1. Pearson: atau

dengan a : Rata-rata

Mo : Modus

Me : Median

S : Simpangan baku

Bila :

- α=0, distribusi datanya simetri

- α<0, distribusi datanya miring ke kiri

- a>0, distribusi datanya miring ke kanan

2. Momen :

Untuk data tunggal :

Untuk data berkelompok :

Cara koding :

Bila :

- α=0, distribusi datanya simetri

- α<0, distribusi datanya miring ke kiri

- a>0, distribusi datanya miring ke kanan

3. Bowley :

Bila :

atau

maka α=0 dan distribusi datanya simetri

maka α=1 dan distribusi datanya miring ke kanan

maka α=-1 dan distribusi datanya miring ke kiri

Contoh:

Tentukan derajat kemiringan dari data berikut :

Jawab:

Text Box: x ̅=(2+3+3+4+5+6+6+6+7+8)/10=50/10=5
S=√((∑▒〖(x-x ̅)〗^2 )/(n-1))=√((〖(-3)〗^2+〖2(-2)〗^2+〖(-1)〗^2+〖(0)〗^2+〖3(1)〗^2+〖(2)〗^2+〖(3)〗^2)/(10-1))
=√((9+8+1+3+4+9)/9)=√(34/9)=1/3 √34

Pearson

karena α < 0, distribusi datanya miring ke kiri

2. Momen

karena α < 0, distribusi datanya miring ke kiri

Text Box: Q_1=1/4 ×10=2,5 ; X_2+0.5(X_3-X_2 )=3+o,5(3-3)=3
Q_2=5,5
Q_3=3/4 ×10=7,5 ; X_7+0.5(X_8-X_7 )=6+0,5(6-6)=6

Bowley

karena α < 0, distribusi datanya miring ke kiri

B. KERUNCINGAN

Kurtosis/keruncingan adalah derajat kepuncakan suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. Ukuran keruncingan adalah suatu besaran yang digunakan untuk menentukan apakah sekumpulan data derajat kepuncakan leptokutik (lancip), normal atau platikurtik (tumpul). Tingkat keruncingan suatu kurva (kurtosis) memiliki 3 jenis, yaitu :

1. Leptokurtis (puncak relative tinggi) ( )

2. Mesokurtis (puncak normal) ( )

Platikurtis (puncak relative rendah) ( )

Rumus untuk mencari keruncingan :

Untuk data tunggal :

Rumus Persentil :

dengan k = koefisien kurtosis persentil

Q₁ = kuartil pertama

Q₃= kuartil ketiga

P₉₀ = persentil ke-90

P₁₀ = persentil ke-10

Bila : k = 0,263 maka keruncingan distribusi datanya mesokurtis

k > 0,263 maka keruncingan distribusi datanya leptokurtis

k < 0,263 maka keruncingan distribusi datanya platikurtis

Untuk data berkelompok :

Cara koding :

Bila : α = 3 maka keruncingan distribusi datanya mesokurtis

α > 3 maka keruncingan distribusi datanya leptokurtis

α < 3 maka keruncingan distribusi datanya platikurtis

Contoh:

Tentukan derajat keruncingan dari data berikut :

Jawab:

Text Box: x ̅=(2+3+3+4+5+6+6+6+7+8)/10=50/10=5
S^2=〖∑(x-x ̅)〗^2/(n-1)=(〖(-3)〗^2+〖2(-2)〗^2+〖(-1)〗^2+〖(0)〗^2+〖3(1)〗^2+〖(2)〗^2+〖(3)〗^2)/(10-1)
=(9+8+1+3+4+9)/9=34/9≈3,78
S^4=14,29

karena α > 0,263, keruncingan distribusi datanya leptokurtis

1. Jika sudut α=0,260, maka keruncingan distribusi datanya adalah ….

a. Platikurtik

b. Mesokurtik

c. Leptokurtik

d. Metakurtik

e. Tetakurtik

2. Salah satu cara untuk mencari kemiringan distribusi data adalah ….

a. Kuartil ke-3 ditambah kuartil ke-2, hasilnya dikurang dengan kuartil ke-1, kemudian dibagi dengan pengurangan kuartil ke-3 dengan kuartil ke-1

b. Kuartil ke-3 ditambah kuartil ke-1, hasilnya dikurang dengan kuartil ke-2, kemudian dibagi dengan pengurangan kuartil ke-3 dengan kuartil ke-1

c. Kuartil ke-3 ditambah kuartil ke-2, hasilnya dikurang dengan kuartil ke-1, kemudian dibagi dengan penjumlahan kuartil ke-3 dengan kuartil ke-1

d. Kuartil ke-3 dikurang kuartil ke-2, hasilnya ditambah dengan kuartil ke-1, kemudian dibagi dengan penjumlahan kuartil ke-3 dengan kuartil ke-1

e. Kuartil ke-3 ditambah kuartil ke-2, hasilnya dikurang dengan kuartil ke-1, kemudian dibagi dengan pengurangan kuartil ke-3 dengan kuartil ke-2

3. Berikut diberikan data sebagai berikut :

3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 5 4 6 6 7 8 9

Tentukan distribusi kemiringan data tersebut !

a. Miring ke kanan / negatif

b. Miring ke kiri / positif

c. Miring ke kanan / positif

d. Miring ke kiri / negatif

e. Simetri

4. Dari soal no. 3 di atas, tentukan keruncingan distribusi data tersebut!

a. Platikurtik

b. Mesokurtik

c. Leptokurtik

d. Metakurtik

e. Tetakurtik

5. Tentukan jenis kemiringan dari data berat badan 100 orang berikut :

Berat Badan (kg)	Banyaknya (orang)
25-29	8
30-34	12
35-39	26
40-44	13
45-49	11
50-54	9
55-59	14
60-64	7
Jumlah	100

a. Miring ke kanan/positif

b. Miring ke kiri/negatif

c. Miring ke kanan/negatif

d. Miring ke kiri/positif

e. Tidak dapat ditentukan

6. Dari soal no. 5 di atas, tentukan distribusi kemiringan data tersebut!

a. Platikurtik

b. Mesokurtik

c. Leptokurtik

d. Metakurtik

e. Tetakurtik

7. Diketahui α = 0,5, S = 7,35, dan Q2 = 25,75. Tentukan Mean dari data tersebut !

a. 27,98

b. 28,98

c. 29,98

d. 25, 98

e. 26,98

8. Di bawah ini merupakan gambar kurva keruncingan distribusi data, yang manakah jenis kurva platikurtik?

9. Tentukan jenis kemiringan dari data bobot 50 koper ini dengan menggunakan rumus Momen!

Bobot (kg)	Frekuensi
7-9	2
10-12	8
11-15	14
16-18	19
19-21	7
∑f	50

a. 0,35

b. -0,35

c. 0,36

d. -0,36

e. 0,37

10. Jika diberikan data sebagai berikut;

2,2,3,3,3,4,5,5,5,5,6,6,7,7,9

Tentukan kemiringan dan keruningan dari data tersebut..

a. Miring ke kanan/positif dan Platikurtik

b. Miring ke kiri/negatif dan Platikurtik

c. Miring ke kanan/negatif dan Mesokurtik

d. Miring ke kiri/positif dan Leptokurtik

e. Miring ke kanan/negatif dan Leptokurtik

1. A

2. B

3. C

4. C

5. A

6. A

7. E

8. A

9. D

10. B

1. Syarat Mα pada kemiringan distribusi data; jika α=0,263, keruncingannya disebut mesokurtik, jika kurang dari itu disebut platikurtik, dan jika lebih dari itu disebut leptokurtik. Jawaban : A

2. Bowley

Jawaban : B

3. 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 5 6 6 7 8 9

Text Box: x ̅=(1+4(2)+6(3)+4+5+2(6)+7+8+9)/18=72/18=4
S=√((∑▒〖(x-x ̅)〗^2 )/(n-1))=√((〖(-3)〗^2+〖4(-2)〗^2+6〖(-1)〗^2+〖(0)〗^2+〖(1)〗^2+2〖(2)〗^2+〖(3)〗^2+(〖4)〗^2+〖(5)〗^2)/(18-1))
=√((9+16+6+0+1+8+9+16+25)/17)=√(90/17)=√5,30=2,30

Pearson

karena α > 0, distribusi datanya miring ke kanan, JAWABAN : C

Text Box: x ̅=(1+4(2)+6(3)+4+5+2(6)+7+8+9)/18=72/18=4
S^2=(∑▒〖(x-x ̅)〗^2 )/(n-1)=(〖(-3)〗^2+〖4(-2)〗^2+6〖(-1)〗^2+〖(0)〗^2+〖(1)〗^2+2〖(2)〗^2+〖(3)〗^2+(〖4)〗^2+〖(5)〗^2)/(18-1)
=(9+16+6+0+1+8+9+16+25)/17=90/17=5,30
S^4= 28,09

karena α > 0,263, keruncingan distribusi datanya leptokurtis, JAWABAN : C

Dalam menyelesaikan soal no. 5 dan no. 6, dapat dibuat table seperti ini agar mempermudah perhitungan :

TABEL DISTRIBUSI DATA BERAT BADAN 100 ORANG
Data
25-29	8	27	-5	-40	-16.25	264.06	2112.48
30-34	12	32	-4	-48	-11.25	126.56	1518.72
35-39	26	37	-3	-78	-6.25	39.06	1015.56
40-44	13	42	-2	-26	-1.25	1.56	20.28
45-49	11	47	-1	-11	3.75	14.06	154.66
50-54	9	52	0	0	8.75	76.56	689.04
55-59	14	57	1	14	13.75	189.06	2646.84
60-64	7	62	2	14	18.75	351.56	2460.92
∑	100	-	-	-175	-	-	10618.5

Lanjutan tabel …

TABEL DISTRIBUSI DATA BERAT BADAN 100 ORANG

-4290.98	-34327.80	69727.68	557821.47	25	200	-125	-1000
-1423.80	-17085.60	16017.43	192209.20	16	192	-64	-768
-244.13	-6347.25	1525.68	39667.77	9	234	-27	-702
-1.95	-25.35	2.43	31.64	4	52	-8	-104
52.73	579.98	197.68	2174.52	1	11	-1	-11
669.90	6029.10	5861.43	52752.90	0	0	0	0
2599.58	36394.05	35743.68	500411.57	1	14	1	14
6591.75	46142.25	123594.43	865161.04	4	28	8	56
-	31359.38	-	2210230.11	-	731	-	-2515

5. KEMIRINGAN

1. Rumus Pearson

karena

maka distribusi data miring ke kanan atau skewed to the right atau positif.

2. Rumus Momen

karena

maka distribusi data miring ke kanan atau skewed to the right atau positif.

3. Rumus Bowley

karena

maka distribusi data miring ke kanan atau skewed to the right atau positif.

Jawaban : A

6. KERUNCINGAN

karena

maka keruncingannya Platycurtic, Jawaban : A

, Jawaban : E

8. Cukup jelas. Jawaban : A

Dalam menyelesaikan soal no. 5 dan no. 6, dapat dibuat table seperti ini agar mempermudah perhitungan :

9. Dalam menyelesaikan soal no. 9, berikut table yang dapat mempermudah perhitungan :

TABEL DISTRIBUSI DATA BOBOT 50 KOPER DALAM SATU BUS PARIWISATA
Bobot
7-9	2	8	-2	-4	-7,26	52,71	105,42
10-12	8	11	-1	-8	-4,26	1,158	145,20
11-15	14	14	0	0	-1,26	1,59	22,26
16-18	19	17	1	19	1,74	3,03	57,57
19-21	7	20	2	14	4,74	22,49	157,43
∑	50	-	-	21	-	-	487,88

Lanjutan table …

TABEL DISTRIBUSI DATA BOBOT 50 KOPER DALAM SATU BUS PARIWISATA

-382,67	-765,34	2778,34	5556,68	4	8	-8	-16
-77,32	-618,56	329,42	2635,36	1	8	-1	-8
-2	-28	2,53	35,42	0	0	0	0
5,27	100,13	9,18	174,42	1	19	1	19
106,60	746,20	505,80	3540,60	4	28	8	56
-	-565,5	-	11942,48	-	63	-	51