Search This Blog

Friday, April 20, 2012

Kemiringan dan Keruncingan Kurva Distribusi

Diposkan oleh Nida Shafiyanti di 8:39 PM

“KEMIRINGAN dan KERUNCINGAN”
(SKEWNESS and KURTOSIS)




Kelompok 9:
1.  Nida Shafiyanti (3125111218)
2.  Indah Dwi Astuti (3125111208)
3.  Puti Febriani Nurjanah (3125111204)
4.  Mahdhi  (3125111207)


Program Studi Matematika
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengatahuan Alam
Universitas Negeri Jakarta
2012

Pendahuluan
      

Statistika tidak dapat dipisahkan dalam kehidupan sehari-hari. Tanpa sadar kita sering menjumpai data statistika. Ilmu statistika dapat membantu seseorang dalam menyelesaikan masalah  yang kaitannya dengan data tunggal maupun kelompok. Salah satu jenis dari statistika mengenai kemiringan dan keruncingan. Dalam malakah ini, akan dijelaskan mengenai pengertian, jenis dan kurva dari suatu kemiringan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun kelompok. Materi dalam makalah ini juga dilengkapi dengan contoh soal dan latihan soal untuk menguji pemahaman dari materi yang telah dipelajari.
Tujuan
 


Setelah mempelajari materi ini, mahasiswandiharapkan dapat :
-          Mengetahui  pengertian dari kemirigan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun berkelompok
-          Mengetahui jenis dari kemiringan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun berkelompok
-          Dapat menggambarkan kurva dari kemiringan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun berkelompok
Manfaat
 


Manfaat dari mempelajari materi kemiringan dan keruncinngan dalam statistika yaitu menambah wawasan dalam bidang statistika, mendapat gambaran lebih rinci dari suatu data, dapat menggambarkan kurva kemiringan dan keruncingan dari data tunggal maupun berkelompok.

MATERI



A.      KEMIRINGAN
      Kemiringan (skewnes) merupakan derajat ketidaksimetrian (keasimetrian), atau dapat juga disefinisikan sebagai penyimpangan dari kesimetrian dari suaru distribusi. Jika suatu kurva frekuensi (polygon frekuensi yang terhaluskan) dari suatu distribusi memiliki ekor kurva yang lebih panjang ke arah sisi kanan dibandingkan ke arah sisi kiri dari nilai maksimum tengah, maka distribusi ini lebih dikenal dengan nama distribusi miring ke kanan atau memiliki kemiringan positif. Untuk kondisi sebaliknya, distibusi dikenal dengan distribusi miring ke kiri atau kemiringan negatif.

Gambar 1
      Untuk distribusi miring, mean akan cendrung berada pada sisi yang sama dengan modus di ekor kurva yang lebih panjang (lihat gambar 1). Jadi ukuran kesimetrian dapat diperoleh dari selisih atau perbedaan nilai mean dan modus: mean – modus. Ukuran ini dapat dibuat menjadi ukuran tanpa dimensi atau satuan jika kita membandingnya dengan suatu ukuran dispersi, seperti misalnya deviasi standar. Tingkat kemiringan suatu kurva (skewness), ditentukan dengan menggunakan rumus (formulasi) sebagai berikut:
1.      Pearson atau    
dengan a      : Rata-rata
Mo       : Modus
Me       : Median
S          : Simpangan baku
            Bila :
-          α=0, distribusi datanya simetri
-          α<0, distribusi datanya miring ke kiri
-          a>0, distribusi datanya miring ke kanan
2.      Momen :
*      Untuk data tunggal :  
*      Untuk data berkelompok :
*      Cara koding :
Bila :
-          α=0, distribusi datanya simetri
-          α<0, distribusi datanya miring ke kiri
-          a>0, distribusi datanya miring ke kanan
3.      Bowley :  
Bila :
-           atau maka α=0 dan distribusi datanya simetri
-          maka α=1 dan distribusi datanya miring ke kanan
-          maka α=-1 dan distribusi datanya miring ke kiri
Contoh:
Tentukan derajat kemiringan dari data berikut :
Jawab:
1.      Text Box: x ̅=(2+3+3+4+5+6+6+6+7+8)/10=50/10=5
S=√((∑▒〖(x-x ̅)〗^2 )/(n-1))=√((〖(-3)〗^2+〖2(-2)〗^2+〖(-1)〗^2+〖(0)〗^2+〖3(1)〗^2+〖(2)〗^2+〖(3)〗^2)/(10-1))
    =√((9+8+1+3+4+9)/9)=√(34/9)=1/3 √34

Pearson




                             
karena α < 0, distribusi datanya miring ke kiri
2.      Momen
                
 
karena α < 0, distribusi datanya miring ke kiri
3.      Text Box: Q_1=1/4  ×10=2,5  ; X_2+0.5(X_3-X_2 )=3+o,5(3-3)=3
 Q_2=5,5
Q_3=3/4  ×10=7,5 ; X_7+0.5(X_8-X_7 )=6+0,5(6-6)=6
Bowley



                 
karena α < 0, distribusi datanya miring ke kiri

B.      KERUNCINGAN
      Kurtosis/keruncingan adalah derajat kepuncakan suatu distribusi, biasanya diambil relatif  terhadap distribusi normal. Ukuran keruncingan adalah suatu besaran yang digunakan untuk menentukan apakah sekumpulan data derajat kepuncakan leptokutik (lancip), normal atau platikurtik (tumpul). Tingkat keruncingan suatu kurva (kurtosis) memiliki 3 jenis, yaitu :
1.      Leptokurtis (puncak relative tinggi) (               )
2.      Mesokurtis (puncak normal) (              )
3.      Platikurtis (puncak relative rendah) (               )

 






Rumus untuk mencari keruncingan :
*      Untuk data tunggal :
*      Rumus Persentil : 
dengan k = koefisien kurtosis persentil
              Q1 = kuartil pertama
              Q3 = kuartil ketiga
              P90 = persentil ke-90
              P10 = persentil ke-10
Bila : k = 0,263 maka keruncingan distribusi datanya mesokurtis
         k > 0,263 maka keruncingan distribusi datanya leptokurtis
         k < 0,263 maka keruncingan distribusi datanya platikurtis
*      Untuk data berkelompok :
*      Cara koding :
 
Bila : α = 3 maka keruncingan distribusi datanya mesokurtis
    α > 3 maka keruncingan distribusi datanya leptokurtis
        α < 3 maka keruncingan distribusi datanya platikurtis
 Contoh:
Tentukan derajat keruncingan dari data berikut :
Jawab:


Text Box: x ̅=(2+3+3+4+5+6+6+6+7+8)/10=50/10=5
S^2=〖∑(x-x ̅)〗^2/(n-1)=(〖(-3)〗^2+〖2(-2)〗^2+〖(-1)〗^2+〖(0)〗^2+〖3(1)〗^2+〖(2)〗^2+〖(3)〗^2)/(10-1)
      =(9+8+1+3+4+9)/9=34/9≈3,78
S^4=14,29

 




karena α > 0,263, keruncingan distribusi datanya leptokurtis
Rounded Rectangle: LATIHAN SOAL
 



1.      Jika sudut α=0,260, maka keruncingan distribusi datanya adalah ….
a.      Platikurtik
b.      Mesokurtik
c.       Leptokurtik
d.      Metakurtik
e.      Tetakurtik
2.      Salah satu cara untuk mencari kemiringan distribusi data adalah ….
a.      Kuartil ke-3 ditambah kuartil ke-2, hasilnya dikurang dengan kuartil ke-1, kemudian dibagi dengan pengurangan kuartil ke-3 dengan kuartil ke-1
b.      Kuartil ke-3 ditambah kuartil ke-1, hasilnya dikurang dengan kuartil ke-2, kemudian dibagi dengan pengurangan kuartil ke-3 dengan kuartil ke-1
c.       Kuartil ke-3 ditambah kuartil ke-2, hasilnya dikurang dengan kuartil ke-1, kemudian dibagi dengan penjumlahan kuartil ke-3 dengan kuartil ke-1
d.      Kuartil ke-3 dikurang kuartil ke-2, hasilnya ditambah dengan kuartil ke-1, kemudian dibagi dengan penjumlahan kuartil ke-3 dengan kuartil ke-1
e.      Kuartil ke-3 ditambah kuartil ke-2, hasilnya dikurang dengan kuartil ke-1, kemudian dibagi dengan pengurangan kuartil ke-3 dengan kuartil ke-2
3.      Berikut diberikan data sebagai berikut :
            3  3  3  3  3  3  1  2  2  2  2  5  4  6  6  7  8  9
            Tentukan distribusi kemiringan data tersebut !
a.      Miring ke kanan / negatif
b.      Miring ke kiri / positif
c.       Miring ke kanan / positif
d.      Miring ke kiri / negatif
e.      Simetri
4.      Dari soal no. 3 di atas, tentukan keruncingan distribusi data tersebut!
a.      Platikurtik
b.      Mesokurtik
c.       Leptokurtik
d.      Metakurtik
e.      Tetakurtik
5.      Tentukan jenis kemiringan dari data berat badan 100 orang berikut :
Berat Badan (kg)
Banyaknya (orang)
25-29
8
30-34
12
35-39
26
40-44
13
45-49
11
50-54
9
55-59
14
60-64
7
Jumlah
100
a.      Miring ke kanan/positif
b.      Miring ke kiri/negatif
c.       Miring ke kanan/negatif
d.      Miring ke kiri/positif
e.      Tidak dapat ditentukan

6.      Dari soal no. 5 di atas, tentukan distribusi kemiringan data tersebut!
a.      Platikurtik
b.      Mesokurtik
c.       Leptokurtik
d.      Metakurtik
e.      Tetakurtik
7.      Diketahui α = 0,5, S = 7,35, dan Q2 = 25,75. Tentukan Mean dari data tersebut !
a.      27,98
b.      28,98
c.       29,98
d.      25, 98
e.      26,98
8.      Di bawah ini merupakan gambar kurva keruncingan distribusi data, yang manakah jenis kurva platikurtik?
a.       






b.       



c.      
 



d.       



e.       




9.      Tentukan jenis kemiringan dari data bobot 50 koper ini dengan menggunakan rumus Momen!
Bobot (kg)
Frekuensi
7-9
2
10-12
8
11-15
14
16-18
19
19-21
7
∑f
50
a.      0,35
b.      -0,35
c.       0,36
d.      -0,36
e.      0,37
10.  Jika diberikan data sebagai berikut;
2,2,3,3,3,4,5,5,5,5,6,6,7,7,9
 Tentukan kemiringan dan keruningan dari data tersebut..
a.      Miring ke kanan/positif dan Platikurtik
b.      Miring ke kiri/negatif dan Platikurtik
c.       Miring ke kanan/negatif dan Mesokurtik
d.      Miring ke kiri/positif dan Leptokurtik
e.      Miring ke kanan/negatif dan Leptokurtik
Rounded Rectangle: KUNCI JAWABAN
 



1.      A
2.      B
3.      C
4.      C
5.      A
6.      A
7.      E
8.      A
9.      D
10.   B
Rounded Rectangle: PENYELESAIAN
 



1.      Syarat Mα pada kemiringan distribusi data; jika α=0,263, keruncingannya disebut mesokurtik, jika kurang dari itu disebut platikurtik, dan jika lebih dari itu disebut leptokurtik. Jawaban : A
2.      Bowley
Jawaban : B
3.      1  2  2  2  2 3  3  3  3  3  3 4 5 6  6  7  8  9
Text Box: x ̅=(1+4(2)+6(3)+4+5+2(6)+7+8+9)/18=72/18=4
S=√((∑▒〖(x-x ̅)〗^2 )/(n-1))=√((〖(-3)〗^2+〖4(-2)〗^2+6〖(-1)〗^2+〖(0)〗^2+〖(1)〗^2+2〖(2)〗^2+〖(3)〗^2+(〖4)〗^2+〖(5)〗^2)/(18-1))
    =√((9+16+6+0+1+8+9+16+25)/17)=√(90/17)=√5,30=2,30

Pearson




                       
karena α > 0, distribusi datanya miring ke kanan, JAWABAN : C
4.     
Text Box: x ̅=(1+4(2)+6(3)+4+5+2(6)+7+8+9)/18=72/18=4
S^2=(∑▒〖(x-x ̅)〗^2 )/(n-1)=(〖(-3)〗^2+〖4(-2)〗^2+6〖(-1)〗^2+〖(0)〗^2+〖(1)〗^2+2〖(2)〗^2+〖(3)〗^2+(〖4)〗^2+〖(5)〗^2)/(18-1)
    =(9+16+6+0+1+8+9+16+25)/17=90/17=5,30
S^4= 28,09

 






karena α > 0,263, keruncingan distribusi datanya leptokurtis, JAWABAN : C
Dalam menyelesaikan soal no. 5 dan no. 6, dapat dibuat table seperti ini agar mempermudah perhitungan :
TABEL DISTRIBUSI DATA BERAT BADAN 100 ORANG
Data
25-29
8
27
-5
-40
-16.25
264.06
2112.48
30-34
12
32
-4
-48
-11.25
126.56
1518.72
35-39
26
37
-3
-78
-6.25
39.06
1015.56
40-44
13
42
-2
-26
-1.25
1.56
20.28
45-49
11
47
-1
-11
3.75
14.06
154.66
50-54
9
52
0
0
8.75
76.56
689.04
55-59
14
57
1
14
13.75
189.06
2646.84
60-64
7
62
2
14
18.75
351.56
2460.92
100
-
-
-175
-
-
10618.5







Lanjutan tabel …
TABEL DISTRIBUSI DATA BERAT BADAN 100 ORANG
-4290.98
-34327.80
69727.68
557821.47
25
200
-125
-1000
-1423.80
-17085.60
16017.43
192209.20
16
192
-64
-768
-244.13
-6347.25
1525.68
39667.77
9
234
-27
-702
-1.95
-25.35
2.43
31.64
4
52
-8
-104
52.73
579.98
197.68
2174.52
1
11
-1
-11
669.90
6029.10
5861.43
52752.90
0
0
0
0
2599.58
36394.05
35743.68
500411.57
1
14
1
14
6591.75
46142.25
123594.43
865161.04
4
28
8
56
-
31359.38
-
2210230.11
-
731
-
-2515

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 


5.      KEMIRINGAN
1.      Rumus Pearson
 
 
 
   
 
karena  maka distribusi data miring ke kanan atau skewed to the right atau positif.

2.      Rumus Momen
 
 
  
   
 
88
karena  maka distribusi data miring ke kanan atau skewed to the right atau positif.
3.      Rumus Bowley
 
 
 
 
karena  maka distribusi data miring ke kanan atau skewed to the right atau positif.
Jawaban : A
6.      KERUNCINGAN
 
 
karena  maka keruncingannya Platycurtic, Jawaban : A
7.       
 ,  Jawaban : E
8.      Cukup jelas. Jawaban : A
Dalam menyelesaikan soal no. 5 dan no. 6, dapat dibuat table seperti ini agar mempermudah perhitungan :









9.      Dalam menyelesaikan soal no. 9, berikut table yang dapat mempermudah perhitungan :


TABEL DISTRIBUSI DATA BOBOT 50 KOPER DALAM SATU BUS PARIWISATA
 Bobot
7-9
2
8
-2
-4
-7,26
52,71
105,42
10-12
8
11
-1
-8
-4,26
1,158
145,20
11-15
14
14
0
0
-1,26
1,59
22,26
16-18
19
17
1
19
1,74
3,03
57,57
19-21
7
20
2
14
4,74
22,49
157,43
50
-
-
21
-
-
487,88





Lanjutan table …
TABEL DISTRIBUSI DATA BOBOT 50 KOPER DALAM SATU BUS PARIWISATA
-382,67
-765,34
2778,34
5556,68
4
8
-8
-16
-77,32
-618,56
329,42
2635,36
1
8
-1
-8
-2
-28
2,53
35,42
0
0
0
0
5,27
100,13
9,18
174,42
1
19
1
19
106,60
746,20
505,80
3540,60
4
28
8
56
-
-565,5
-
11942,48
-
63
-
51

 
 
 
 
 
Rumus Momen
 
 
 
 
 
 
 
karena  maka distribusi data miring ke kiri atau skewed to the left atau negatif., Jawaban : D
10. 
karena  maka distribusi data miring ke kiri atau skewed to the left atau negatif., Jawaban : B


Rounded Rectangle: KESIMPULAN
Vertical Scroll: Untuk mencari kemiringan dapat dilakukan dengan tiga rumus, yaitu;
1. Pearson  
2. Momen  
3. Bowley  
Jika,
-  α=0, distribusi datanya simetri
- α<0, distribusi datanya miring ke kiri
- α >0, distribusi datanya miring ke kanan
Sedangkan, untuk mencari keruncingan dapat menggunakan rumus;
Data tunggal   atau 
Jika
- k = 0,263 maka keruncingan distribusi datanya mesokurtis
- k > 0,263 maka keruncingan distribusi datanya leptokurtis
- k < 0,263 maka keruncingan distribusi datanya platikurtis

Data berkelompok  
Bila: α = 3 maka keruncingan distribusi datanya mesokurtis
α > 3 maka keruncingan distribusi datanya leptokurtis
α < 3 maka keruncingan distribusi datanya platikurtis
 


6 komentar:

gak said...

kok lainnya tidak keliatan

gak said...

kurang teratur..!!!!!!!

gak said...

ad file pdf nya,,,? minta dong...!! veemedy@gmail.com

Unknown said...

maaf mb/mas, kalau boleh saya minta file nya? bisa minta tlg dikirim kan ke alamat email saya cah_phi@yahoo.com. suwun

Tita Setiawati said...
This comment has been removed by the author.
Tita Setiawati said...

mbak boleh minta filenya dong ?? hehee
soalnya saya butuh untuk bahan mata kuliah saya hehehe

Post a Comment

 

Sekolahku Template by Ipietoon Blogger Template | Gadget Review